Ten, kdo si vezme střed pizzy, vyhrává. Nebo prohrává?
Představ si, že si u stolu s kamarády bereš kousek pizzy přesně ze středu. Podle matematiky to může znamenat, že jsi právě vyhrál víc jídla, než dostali ostatní. Nebo přesně naopak, prohrál. A rozhoduje o tom jediná věc: kolikrát se pizza předtím rozkrojila.
Zní to jako nesmysl vymyšlený u piva, ale za tímhle tvrzením stojí skutečný matematický důkaz, na kterém dva lidé pracovali přes deset let. Klidně si to doma ověř nožem a pizzou, výsledek tě možná překvapí.
Hádanka, která tvrdila dvě protichůdné věci najednou
Příběh začíná v roce 1994, kdy se v časopise Mathematics Magazine objevila hádanka o krájení pizzy. Paul Deiermann na ni narazil a ukázal ji svému kolegovi Ricku Mabrymu. Autoři úlohy po čtenářích chtěli dokázat dvě tvrzení najednou, a to bylo na první pohled podivné, protože si vzájemně odporovala.
První tvrzení říkalo, že člověk, který sní kousek se středem pizzy, dostane víc jídla než ostatní. Druhé tvrzení tvrdilo přesný opak. Jenže v roce 1994 mělo pořádný důkaz jen to první. Druhé zůstávalo otevřenou otázkou, kterou nikdo neuměl matematicky uzavřít.
Řezy, které nejdou středem
Aby hádanka vůbec dávala smysl, musí se pizza krájet trochu jinak, než jak to děláme běžně. Nejde o klasické rozkrojení na stejné dílky, kdy každý řez prochází přesně středem. Kdyby to tak bylo, výsledek by byl vždycky vyrovnaný, ať pizzu rozkrojíš na jakýkoli počet kousků.
Trik je v tom, že řezy vedou těsně kolem středu, pod různými úhly, takže vznikne série nepravidelných kousků. Některé z nich obsahují přesný střed pizzy, jiné ne. Matematici pak sečtou plochu všech kousků obsahujících střed a porovnají ji s plochou zbytku. Zhruba řečeno: čím víc řezů, tím složitější mozaika, a právě v ní se skrývá rozdíl mezi výhrou a prohrou.
Šest kousků vyhrává, deset kousků prohrává
Tady je jádro celé věci. Když pizzu rozkrojíš třikrát, čímž vznikne šest kousků, kousky obsahující střed dohromady mají větší plochu než ty ostatní. Kdo sní právě je, dostane víc pizzy.
Stačí ale jeden řez navíc, tedy pět přeříznutí a deset kousků, a poměr se otočí. Kousky se středem teď mají menší plochu než zbytek. Stejný člověk, který by u šesti kousků vyhrával, u deseti kousků prohrává. Rozdíl je systematický a dá se matematicky popsat a dokázat.
Deset let na jeden dodatečný řez
První případ, se šesti kousky, se podařilo dokázat celkem rychle. Druhý, s deseti kousky, se ale matematikům dlouho vzpíral. Rick Mabry a Paul Deiermann se k němu vraceli přerušovaně celé roky, než v roce 2006 konečně dosáhli průlomu. Od zveřejnění hádanky v roce 1994 tak uplynulo víc než deset let, než měli kompletní řešení. Formálně pak celý důkaz vyšel v roce 2009 v odborném časopise American Mathematical Monthly.
Je to pěkná ukázka toho, jak i úloha, která zní jako zábavná drobnost k obědu, dokáže skrývat pořádně tvrdý matematický oříšek. Trpělivost tu byla stejně důležitá jako důvtip.
Když vám dojde pizza, vezmete kalzone
Po vyřešení pizzového teorému se Mabry s Deiermannem nezaložili ruce a pustili se do podobné hádanky s kalzonem, tedy jídlem ve tvaru půlkruhu, kde platí úplně jiná pravidla dělení. Ukazuje to jeden hezký princip: geometrie se schovává i v úplně obyčejných věcech kolem nás, v jídle, v předmětech, ve hrách, a dokáže zaměstnat vědce na roky, ne-li na kus kariéry.
Spíš než o genialitu jde o všímavost k detailu, který by jiný člověk přešel bez povšimnutí. Až budeš příště krájet pizzu, možná se podíváš na ty klínky trochu jinak.