Pravdivé, ale nedokazatelné. A to není vada systému.
Matematika skrývá tvrzení, o nichž víme, že jsou pravdivá, ale nedokážeme je dokázat. Příčina je zabudována přímo do základů každého dostatečně silného formálního systému a nesouvisí se schopnostmi matematiků. Pětadvacetiletý logik Kurt Gödel to v roce 1931 ukázal přísně a nezvratně. Jak může být tvrzení pravdivé, když ho nelze dokázat? Tato otázka by vám měla způsobit mírnou závrať. Správnou.
Hilbertův program: matematika jako dokonalý stroj
Matematik David Hilbert formuloval ambici: sestavit konečnou sadu základních pravidel, z níž by šlo odvodit veškerou matematiku, a zároveň dokázat, že tato pravidla jsou bezesporná. Axiomy fungují jako pravidla hry, z pár výchozích tvrzení se vše ostatní odvozuje. Hilbert chtěl takovou hru, která by pokryla veškerou matematiku a nikdy se nerozbila. Zdálo se to dosažitelné. Kdo by tušil, že samotná aritmetika přirozených čísel tento sen pohřbí?
Jak přinutit aritmetiku mluvit o sobě
Klíčový trik se nazývá gödelizace. Gödel přiřadil každému matematickému symbolu, každé formuli a každé posloupnosti kroků důkazu jedinečné přirozené číslo. Využil základní větu aritmetiky: každé přirozené číslo lze vyjádřit jako součin prvočísel právě jedním způsobem. Symboly kódoval jako mocniny po sobě jdoucích prvočísel a ta vynásobil, výsledek je vždy jedinečný, jako otisk prstu.
To mělo zásadní důsledek: výroky o matematických formulích se změnily ve výroky o číslech. Protože aritmetika uměla mluvit o číslech, najednou uměla mluvit o sobě samé. Gödel pak vzal formuli s volnou proměnnou a dosadil do ní Gödelovo číslo té samé formule. Vzniklo tvrzení odkazující samo na sebe, bez paradoxu a s přísnou matematikou v zádech.
„Tato věta není dokazatelná“ a past bez úniku
Výsledkem je tvrzení G, které v překladu říká: „tato formule není dokazatelná v tomto systému.“ Pokud je G dokazatelné, systém dokazuje nepravdu a je nekonzistentní. Pokud G dokazatelné není, G mluví pravdu a systém je neúplný. Třetí možnost neexistuje. Problém nejde obejít přidáním G jako nového axiomu, v rozšířeném systému vznikne nové tvrzení G‘, které hraje přesně stejnou roli. Tahle honička nikdy nekončí.
Z první věty přímo plyne druhá. Kdyby dostatečně silný systém dokázal vlastní konzistenci, plynulo by z toho, že G je dokazatelné. Protože G dokazatelné není, žádný takový systém svou konzistenci sám prokázat nemůže. Hilbertův záruční list pro matematiku nebyl jen těžký na sestavení. Byl vnitřně nemožný.
Gödel nebyl sám
Gödelovy výsledky zapadají do širší rodiny poznatků o mezích formálních systémů. Kontinuální hypotéza, zda existuje nekonečno větší než přirozená čísla, ale menší než reálná, se ukázala být nezávislá na standardních axiomech teorie množin. Gödel v roce 1938 prokázal, že ji z těchto axiomů nelze vyvrátit; Paul Cohen v roce 1963 technikou zvanou forcing prokázal, že ji nelze ani potvrdit. Forcing je metoda rozšiřování modelů teorie množin, která umožňuje konstruovat světy, v nichž platí jiná pravidla než v tom výchozím, Cohen ji vynalezl právě proto, aby ukázal, že negace kontinuální hypotézy s axiomy teorie množin nekoliduje. Nelze dokázat ani jedno. Alan Turing v roce 1936 ukázal, že nelze sestavit obecný algoritmus, který by pro libovolný program rozhodl, zda někdy skončí, nebo poběží věčně. Pojmová příbuznost s Gödelem je zřejmá.
Co to říká o matematice, a co ne
Gödelovy věty stanovují přesně: žádný dostatečně bohatý formální systém nedokáže zachytit veškerou matematickou pravdu a nemůže si sám potvrdit, že se nerozbil. Většina tvrzení, jimiž se matematici zabývají, přitom dokazatelná je, Gödelovy věty nevnášejí chaos do výpočtů ani do rovnic. Zjistit přesnou hranici schopností vlastního nástroje není porážka. Je to nejpřesnější typ poznání, jaký existuje.